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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 j3Iwd0U  
tSon<  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Gc& .  
?D\.%!G\  
　　1、三角函数本质： s7M9THvh$J  
IfM;A9P]  
　　三角函数的本质来源于定义 r-[jw b/  
Q TPR'  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 !$c1z/RR_  
9M6:`@E  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 mX\r3K  
-*&1zfo f  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例：  b-^-\XX  
WkJ Qq\  
　　推导： PZY}g/xQ  
H50<(y`Kn  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ng p4UJa[  
|]-:m|=  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) tkqeS*C  
CU} H;7  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) XR:23&90  
`.Qjc }  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 0A3{$VS  
(U$T|L](  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） `Pp7 z  
<*aZ8W @'  
　　[1] |J =G`mT0  
B]p+:Vs  
　　两角和公式 ~$E0}Bp  
y?|6u%q&<^  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB o;n{$B&  
P z|*lI7;  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  $f 1?/"  
n}_8$ )EK[  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB _CL)3 nTf  
S[ 2O|  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB c;94unCl  
RG_af8B?  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) YRTSx :'}  
h"_a"R4  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) CZ,%Lzx5&  
qp2$Q'`*l  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  h@#8<=c\  
f(:VuQjq k  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) [\g*!  
5V[: }b0  
倍角公式 `k{aNPJ:  
/N+y7n9SWw  
　　Sin2A=2SinA•CosA +uo<~`1e0I  
X09xS?o#  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 n KiK]Vk7  
#3In<L  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 4fs#M  
"i<@#*|#  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） X%{sIe :  
6L oeY U  
三倍角公式 TCw"n+(O^  
;p2^ 3_ng6  
　　 vuc .:kgt=  
D%*:Mw>QJ  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) oUb >l6kQ0  
ugR 1</  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Sq\jz!G  
"l43V  B  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) owX|~RL  
&[t;.X  
三倍角公式推导 na'$}nL  
n|W~q4X  
　　sin3a oYxKsJdtz  
UY^>ln~F  
　　=sin(2a+a) hd`: !2  
$qLga~n  
　　=sin2acosa+cos2asina =]= P`PC<y  
=C[R(;l+  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 5zS,?mA  
ZvFgGzd)~~  
　　=3sina-4sin³a `(&rLL>zgG  
E2,:'_5+N  
　　cos3a VaO1$Ah 1  
^B{t +@|  
　　=cos(2a+a) _1(kpsRq+@  
YQ$S4E  
　　=cos2acosa-sin2asina bcxCT_rzW  
6 rW0DwaR  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa n`[IbbpV  
z,:E i d  
　　=4cos³a-3cosa {+k4 it>  
?RbF\9W  
　　sin3a=3sina-4sin³a Ccwd*<oI  
"b26 )[  
　　=4sina(3/4-sin²a) QHSNr=YE  
D^r8#$yy  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] IRa!-;  
:Kt#YOR  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) `Pk~$5* x  
M!#_ovG=  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) _ZRD"2{L  
H G.   
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 7vO^w se]?  
57Te w:  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ^DnM0R9kb  
0n>?@Lnr  
　　cos3a=4cos³a-3cosa t>e f3  
kRzqs@Cv<  
　　=4cosa(cos²a-3/4) tr$;<zP  
WJ5A2H8U  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] tK{w|b|  
RwQq`=]  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) \M'N5Kq*  
>-OMU1Oy~  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Tg 'F?h  
[tCVqdW  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} {@%GDz p   
x9!wBw6j)R  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) rB=$X}|  
?B/ )gY  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] q8[4 pGNB  
\ 5Fu>W[*  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Q4/w!`K#  
xdR/:4r  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) fO/s:)s .  
9z)SGnh7  
　　上述两式相比可得 Y E  
QH_fa+  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 5`8LJxc  
,Cc4szW)  
半角公式 u@0\A:j  
&vxaK%A  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); kvJr`o-  
b"!dC*  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. =W3{CYF,  
bF[\yWq5Xo  
和差化积 g !2  
gh<4W';  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] [<p(dA  
TrORV X  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] tnp#;M}Cu  
Y1';p32(&  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] N4hov>X/  
y1)pCc|gX  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 6r9Z`rh*  
o$]`(DZ`  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 2#Qf7:A  
@4U5:7+"  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) j{JT63g"  
NDO|TQN  
积化和差 @ (2TE~?{  
!NL-si  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] D3J$;pP  
Kc @<rx('  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 9=89;~W  
jx{hT  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] wJf?#}[  
iSt-QV<  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] z-@@'&  
j$ t=`  
诱导公式 ?-wp YDaw  
uh3q/^KP0  
　　sin(-α) = -sinα HFW\;je:i7  
@V_l=#Q8  
　　cos(-α) = cosα 1ZOzc[$  
W-^1F=C  
　　sin(π/2-α) = cosα D?6l`I  
8U+R9 ,E  
　　cos(π/2-α) = sinα ?7"gv7[@6X  
%<V~{/Tg  
　　sin(π/2+α) = cosα Lib?P_R6  
!@S.m3C  
　　cos(π/2+α) = -sinα Gk?^i,95  
qO!j)hc+x  
　　sin(π-α) = sinα {_huq]X+R  
C0#h0Ha  
　　cos(π-α) = -cosα QVV MN$V  
MfP6,y _  
　　sin(π+α) = -sinα " hJLrJy?  
R]#N=,|7yG  
　　cos(π+α) = -cosα V3RaL @   
fcwm L1CX  
　　tanA= sinA/cosA >fg/Yv  
[[%dh]V$  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα =_YBPHDF  
A b~1KGl  
　　tan（π/2－α）＝cotα em*Fo]  
OK wI*  
　　tan（π－α）＝－tanα j jV4OxHF  
>Q1Y+8e4  
　　tan（π＋α）＝tanα vpq hX"/g4  
BIq# 4*  
万能公式 ']6}x!c  
xJM&q-WP  
　　 ce/ ; 2<K  
mAXJvhI@q  
其它公式 , BJ%A^  
|z=P*N(  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 X|%OPiSf8i  
V)J=3-u  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 <hMTEfR  
D(\D8mr  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 [qY(LKQ  
vd\^`LW  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 bXZk !K0x  
2J?]j7E  
　　对于任意非直角三角形,总有 iXL/~R3"F  
nl4R F1*(  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC eLzn"\'k  
Di<m;x~4  
　　证: O=5 AICrE  
[=)t:N`'  
　　A+B=π-C $Yi)  
kd| G>  
　　tan(A+B)=tan(π-C) s0vn'dRcH  
6=z{"qNP  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) > XbNgTy  
$dyorK|  
　　整理可得 B VL  
+c$)?N.  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Tho=H'Vks  
%rL.K\[D  
　　得证 ++"/m|  
k1pz6/R8_  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 IM yL]Wy  
Y$)3-*E  
其他非重点三角函数 b3nk" I8  
ic Y0S]hP  
　　csc(a) = 1/sin(a) t'kg)ik)  
7|vyDu   
　　sec(a) = 1/cos(a) K{N,RJTg  
5$=&XCEc^  
　　 r}g)IH>/@  
Uym&0^N@>p  
双曲函数 =m#Ze$d  
7(TXx'm_  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 bzJu `j\T  
zb{BK7Kf  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ?mz@-'tb  
Q3k2"bpYJ  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ?e-nG%  
(D8|X  
　　公式一： @t_;I?  
M;a$9  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： JXb9l  
kA]a.(l  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 41-;/)M_  
$Yi-x-|6E  
　　cos（2kπ＋α）= cosα y(F,5VZ  
"_wUJb  
　　tan（kπ＋α）= tanα `B!UfVVMg$  
oLq>m,Q6"a  
　　cot（kπ＋α）= cotα "0nZrX0  
)ypv<-2  
　　公式二： 0_x~5j~M=  
^V= lbe&  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： C;aNvP6  
LXM6- u~=  
　　sin（π＋α）= -sinα |`@BV,^(  
y!iKL}1k  
　　cos（π＋α）= -cosα #%&h# O  
gAs=`^I9^  
　　tan（π＋α）= tanα iWD%[S@<  
}[o/:W~ByY  
　　cot（π＋α）= cotα ~*L j)|T>  
iVm\ )&T}  
　　公式三： LB|iM3wF  
#Rr yPf`0H  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： c52rLA=:  
M(*,vOA(  
　　sin（-α）= -sinα dc$*S-Rl{  
w2=Wuf;[  
　　cos（-α）= cosα 0}A3/eb&;  
b)d* 8k  
　　tan（-α）= -tanα =KA/$ uF  
aZU/2  
　　cot（-α）= -cotα To@9O C  
t:^[ h!  
　　公式四： JW`e^nwL5  
^2L;;k/#5C  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： V4nxZL R  
g/gU}sR}k  
　　sin（π-α）= sinα G (!{]u  
iG1`Z  
　　cos（π-α）= -cosα l:/BE+.v;  
:BTkg >V  
　　tan（π-α）= -tanα kYwvwi`>3  
4wKgO^  
　　cot（π-α）= -cotα T!>E;&& 5  
h Kug=?K  
　　公式五： Ot\[oEm1j  
3&jj2)t  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： >=lBgd/`@}  
kp\HQm(I  
　　sin（2π-α）= -sinα -2L41ui  
M}|y#FcIv  
　　cos（2π-α）= cosα lC T"&X  
CkLJQL h  
　　tan（2π-α）= -tanα 8 H{1C[  
?uu*3lVI  
　　cot（2π-α）= -cotα /8O*],--  
iC0R<U<T  
　　公式六： k)D(g2xa  
0UFF!]S  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： <8;+[E*_  
R-Wf&9w}  
　　sin（π/2+α）= cosα 4? W>Z%  
( ap]{&9  
　　cos（π/2+α）= -sinα WZ E'sa2c  
Bn(%#%CA  
　　tan（π/2+α）= -cotα m XF%[SG?Z  
SFvG3M>\  
　　cot（π/2+α）= -tanα ^c t}<q-u  
:2W7c7v)  
　　sin（π/2-α）= cosα 5 jj wg  
tSS. =~X  
　　cos（π/2-α）= sinα gi*O  
wp!t{7  
　　tan（π/2-α）= cotα '>%\?5!  
%`nn("_  
　　cot（π/2-α）= tanα v8WYS~#<v  
&G>t.(F  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 5 "8d:l ]  
i2jZEXKi  
　　cos（3π/2+α）= sinα =)pS8u<~  
h/6af(6B  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 0\n]fPm  
|cxhqe  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 4:Xg. '8  
o6}Y'|_Y8  
　　sin（3π/2-α）= -cosα =vy9K  
(B*uN*X  
　　cos（3π/2-α）= -sinα zIy5/W  
k9t&y`0  
　　tan（3π/2-α）= cotα bACJ:V FYn  
_DcLFY5  
　　cot（3π/2-α）= tanα 4Vc)\vMp  
a!}&h:u(  
　　(以上k∈Z) $[Tj=p(~y  
+ KDZ6GMG  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 a!UZbmjMHg  
A;|m36bx%  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = cx `hj"  
V+&xN_  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } sfWJbQ%>9  
a$>RTy;I-T  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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